Euclides y sus “Elementos”

Publicado el 16 de julio de 2008 en Historias de la ciencia por omalaled
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Hace años (demasiados), cuando estudiaba 7º de EGB, un profesor nos dijo que el libro que más éxito había tenido en la Historia Universal después de la Biblia y que había sido traducido a más idiomas, también después de la Biblia, era el Quijote, de nuestro venerado Miguel de Cervantes. Quizás me voy a equivocar (vosotros, que sabéis mucho más que yo, me lo diréis), pero creo que el segundo puesto lo ocupa un libro de matemáticas llamado Elementos y su autor no es otro que Euclides. Y sobre ello os hablaré en nuestra historia de hoy.

Quería hacer un artículo en el que os pudiera explicar el tema extensamente pero, sobre todo, que fuera corto. No he podido. Así que hoy haremos una introducción a la axiomática y al propio Euclides y en un próximo artículo podremos hablar de sus postulados y, sobre todo, del famoso quinto postulado, los dolores de cabeza que trajo y cómo se zanjó el embrollo. Vamos allá.

Después de la muerte de Alejandro Magno varios de sus generales se repartieron el poder sobre las tierras conocidas. Uno de ellos, Ptolomeo, estableció una dinastía que habría de reinar en Egipto durante tres siglos. Trasformó a su capital, Alejandría, en el centro intelectual más grande de la Antigüedad, y uno de los primeros talentos que trabajó allí fue el matemático Euclides.

Muy poco se sabe acerca de la vida privada de este hombre. Nació hacia el año 325 a. C. no sabemos dónde, y se desconoce dónde y cuándo murió. Parece ser que se formó con la academia de los discípulos de Platón.

Su nombre está indisolublemente ligado a la geometría por el citado Elementos que se ha convertido en el patrón clásico aunque con algunas modificaciones. De dicho libro han aparecido más de 2.000 ediciones(!). Cualquier autor de un libro de matemáticas o de cualquier otro tema debería palidecer de asombro.

Como matemático, su fama no se debe a sus propias investigaciones. Muy pocos de los teoremas que hay en su libro le pertenecen. Lo que hizo Euclides, y lo que le consagró, fue tomar todo el conocimiento matemático que se había acumulado has­ta entonces y codificarlo en una sola obra.

Además de la geometría, su texto se ocupó de las razones y las pro­porciones y de lo que hoy conocemos como “teoría de números”. Tam­bién hizo que la óptica pasara a formar parte de la geometría, al tratar a los rayos de luz como si fueran líneas rectas.

Una anécdota que se cuenta acerca de él se refiere al rey Ptolomeo quien, mientras estudiaba geometría, le preguntó si no podía hacer que sus demostraciones fueran un poco más fáciles de seguir. Euclides le respondió de manera intransigente: “Para llegar a la geome­tría no hay un camino especial para los reyes”.

Durante tres siglos antes de Euclides los geómetras griegos habían trabajado en demostrar algún que otro teorema geométrico hasta llegar a descubrir muchísimos. Lo que hizo Euclides fue construir con todo ello un sistema. Empezó por ciertas definiciones y suposiciones y luego las aplicó para demostrar unos cuantos teoremas. En base a aquellas definiciones y suposiciones, más los pocos teoremas que tenía ya demostrados, demostraba otros cuantos, y así sucesivamente.

Fue el primero, que nosotros sepamos, que edificó un sistema matemático perfecto, basado en el criterio explícito de que es inútil intentar probarlo todo: que es esencial partir de ciertas cosas que no pueden probarse, pero que pueden admitirse sin pruebas porque satisfacen la intuición. Tales suposiciones intuitivas, sin pruebas, se llaman axiomas.

Hacer una lista de axiomas no es tan fácil como pudiera parecer a primera vista. Exigimos que dicha lista sea completa, es decir, que basten para demostrar todos los teoremas útiles del campo particular del conocimiento que estemos explorando. Por otro lado, no deben ser redundantes: no debemos poder probar un axioma apoyándonos en los restantes. Más aún, debe ser imposible de demostrar un axioma partiendo de los demás. Además, han de ser consistentes, es decir, que no pueda deducirse de algunos de ellos que una cosa es cierta, y de otros que es falsa.

El sistema axiomático tiene una ventaja. Si demostramos un teorema sin usar el axioma A, entonces, podemos estar seguros de que nuestro teorema seguirá siendo válido aunque se rehaga el axioma A. Esto que os digo puede parecer una nimiedad, pero uno de los debates más largos y profundos de las matemáticas ha sido, precisamente, la aceptación o rechazo de uno de esos axiomas: el quinto.

Esta idea de por sí ya era una grandísima conquista intelectual, pero Euclides hizo algo más: eligió buenos axiomas. Y mirad si era bueno que durante dos mil años la geometría de Euclides ha sido asentada sobre la base del más estricto rigor y nadie juzgó necesario añadir otro axioma, ni fue capaz de eliminar ninguno, o de modificarlo sustancialmente. Impresionante, Euclides.

No gusta a todo el mundo basarse en axiomas. Bertrand Russell declaraba:

Me habían dicho que Euclides demostraba las cosas y me sentí muy decepcionado cuando vi que empezaba con axiomas. Al principio, rehusé aceptarlos, a menos que mi hermano me diera algunas razones para ello, pero él me dijo: “Si no los aceptas, no podemos seguir” y, como yo quería continuar, a regañadientes los admití.

Todas estas ideas están plasmadas en su libro: Elementos. Es una enorme colección dividida en 465 proposiciones que abarcan desde la geometría plana hasta la teoría de números. Ya hemos dicho que pocos teoremas eran de él, pero lo importante es que los recopiló en una sola obra.

Y tan importante fue que se convirtió en el “texto tipo”.

Cuando nosotros decimos “Mt 15, 5-9″, todos sabemos que se trata del Evangelio según San Mateo, capítulo 15, versículos del 5 al 9; no hace falta que digamos a qué libro pertenece porque, por supuesto, hablamos de la Biblia. Pues de la misma manera, cuando un matemático mencionaba “I.47″ todos sabían que solo podía significar la proposición 47 del libro I. No hacía falta decir del libro que se trataba, porque todos sabían que estaban hablando de Elementos.

Cabría preguntarse cuál de los dos libros ha sido más estudiado y cuál de los dos ha sido más influyente en la historia. Tal y como se puede afirmar mucha gente ha leído la Biblia y que ha sido extensamente estudiada, también podemos decir que Elementos fue leído por muchísimos de los grandes científicos y otros personajes que han cambiado la historia como Arquímedes, Cicerón, Newton, Leibniz, Napoleón e incluso Abraham Lincoln. Un biógrafo de este último, Carl Sandburg, explicaba:

(…) compró los Elementos de Euclides, un libro de 23 siglos de edad… Lo metía en su cartera cuando salía de campaña. De noche… leía a Euclides a la luz de una vela, después que los otros se retiraban a dormir.

Bertrand Russell explicaba:

A la edad de 11 años, empecé a leer a Euclides, con la guía de mi hermano. Ese fue uno de los grandes acontecimientos de mi vida, tan deslumbrante como el primer amor.

Como dijo Thomas L. Heath:

Este maravilloso libro, con todas sus imperfecciones, que son de hecho de poca importancia si tenemos en cuenta la fecha en que se escribió, es y seguirá siendo sin duda, el más grande de los libros de matemáticas de todos los tiempos.

En fin. Ojalá pudiera volver a hablar con aquel profesor y poder charlar un rato con él sobre cuál es el libro que ocupa el segundo lugar en la Historia Universal.

Fuentes:
“Viaje a través de los genios” William Dunham
“De los números y su historia”, Isaac Asimov
“El electrón es zurdo”, Isaac Asimov
http://www.euclides.org
http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/euclides.htm



Hay 24 comentarios a 'Euclides y sus “Elementos”'

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  1. #1.- Enviado por: meneame.net

    El día 16 de julio de 2008 a las 23:43

    Euclides y sus “Elementos”…

    [c&p] Hace años (demasiados), cuando estudiaba 7º de EGB, un profesor nos dijo que el libro que más éxito había tenido en la Historia Universal después de la Biblia y que había sido traducido a más idiomas, también después de la Biblia, e…

  2. #2.- Enviado por: juanjo

    El día 17 de julio de 2008 a las 01:26

    Y más exito habría tenido dicho libro si Jean Dieudonne no hubiese proclamado, en el seno del grupo Bourbaki, aquella famosa sentencia de “¡Abajo la geometría!. ¡Muera Euclides!”. Y todos nosotros sufrimos despues las matemáticas “modernas”. Aún tengo mi libro de 4º (y el de 5º, 6º…) de EGB, lleno de diagramas de teoría de conjuntos, flechitas, relaciones, productos cartesianos….y me pregunto cómo hemos sobrevivido a esto.

    En serio, la geometria “sin” Euclides,( Sobre todo a partir del “Moderne Algebra” de Van der Waerden) como una culminación del Erlangen Program de Klein, es un edificio maravilloso, que conecta teorías entre sí de forma insospechada y que justifica métodos aún cuando no se tenga ó no se pueda tener la “imagen geométrica mental asociada”. Es pues de mayor generalidad.

    Sin embargo su enseñanza( La enseñanza sin geometría, sin Euclides), fue y ha sido, un absoluto y estrepitoso fracaso, del que aún no hemos salido (Sobre todo aquí que la incorporamos tarde en los finales de los 60 y los 70). Y hay muchos chistes al respecto….

    Una buena lectura al respecto es Kline “El fracaso de la matemática moderna, o porqué juánito no sabe sumar”. Ed. Siglo XXI.

    Y veremos cómo se logra que nuestros alumnos tengan un mínimo nivel de “imaginería geométrica”…

    Saludos.

  3. #3.- Enviado por: Alejandro

    El día 17 de julio de 2008 a las 18:18

    Sin dudas, Euclides fue un genio para su época, y aun es admirado por muchos matemáticos.
    Su obra, precursora en ahunar conocimientos tan complejos y tan fantásticos fue un gran esfuerzo que se agradece hasto hoy en día… pensar que de esto pueden derivar las teorías del cálculo (que tanto dolor de cabza me han traído -estudiando las famosas integrales dobles y triples-)

    Me encanta lo que estudio (pedagogía en ciencias cn mnción en química) y me encanta poder utilizar directa o indirectamente estos conocimientos en geometría y cálculo (al estudiar la ecuación de Schrödinger para los orbitales atómicos)

    De paso… hace poco leí un artículo donde preguntabas pr alguien que confirmara el gusto por las formas de los orbitales. A mí me maravillan… ayudan a explicar los tipos de enlaces moleculares, el saber si un elemento es conductor eléctrico… etc.

    (No es por publicidad, pero en mi blog tengo los dibujos de todos los orbitales… la calidad de las imágenes no es muy buena, pero se distinguen bien)

    Gracias… me encanta este sitio!!!!

    Alejandro Lara
    Chile

  4. #4.- Enviado por: dicari

    El día 17 de julio de 2008 a las 20:30

    Ohh debo leer este libro, se entiende fácil? Digo…si no tienes idea de geometría entiendes el libro?

    Un saludo

  5. #5.- Enviado por: omalaled

    El día 17 de julio de 2008 a las 21:16

    juanjo: me apunto ese libro. Gracias.
    Alejandro: muchas gracias por tus palabras.
    dicari: se puede entender perfectamente. Lo tienes en muchos sitios por Internet. También tienes muchos sitios que te lo presentan por capítulos exponiendo y detallando explicaciones. Por ejemplo, aquí, y aquí. Si te va la geometría, te recomendaría mucho el Viaje a través de los genios del que ya hable.

    SAlud!

  6. #6.- Enviado por: Dani

    El día 17 de julio de 2008 a las 22:08

    Hola,
    Muy bueno el blog, siempre aprendo cosas interesantes. Y me gustaría poder aclarar una duda. ¿Cuál es el quinto axima? ¿Se trata della recta paralela a otra por un punto externo?

    Un saludo y muchas gracias.

  7. #7.- Enviado por: Koki

    El día 17 de julio de 2008 a las 22:44

    Euclides no lo llama axioma sino postulado y dice:

    “Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los [ángulos] menores que dos rectos”

    Tiene muchas equivalencias, una de las cuales es la de que por un punto exterior a una recta sólo se puede trazar una paralela a la recta original. Otra equivalencia es que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos rectos (180º). Pero esperemos al artículo de Omalaled.

  8. #8.- Enviado por: Moria

    El día 18 de julio de 2008 a las 03:34

    Me encanta este blog, a pesar de nunca escribir en el siempre lo leo y, simplemente me fascina. En estos momentos me es muy especial ya que estoy sobre Gödel que habla precisamente sobre axiomatización y sistemas formales, cosa que Euclides en su obra deja muy en claro.

    Felicidades al autor y que siga por este muy buen camino. Desde México, un saludo.

  9. #9.- Enviado por: Haplo

    El día 18 de julio de 2008 a las 12:44

    Aún recuerdo la primera vez que, durante los estudios, hablaron de los axiomas necesarios para las demostraciones matemáticas. Parecía cosa de magia incomprensible el que, para demostrar algo, hubiese que dar por cierto esos conceptos sin poder refutarlos y verdaderos en sí mismos.

    Nuestras mentes inquietas eran incapaces de asimilar algo así, y sin embargo había que darlos por ciertos para poder seguir construyendo los teoremas y demostraciones necesarios… parecía cosa de un Dios superior, y al fin y al cabo solo se debían al inmenso genio de Euclides.

    Genial el post de hoy, espero con ansia la segunda parte para poder seguir descubriendo el genio sin par de Euclides

  10. #10.- Enviado por: Kunzahe

    El día 18 de julio de 2008 a las 13:43

    Precisamente acabo de leer el capítulo sobre el tema en Viaje a través de los Genios, que ya saqué de la biblioteca. Qué casualidad.

  11. #11.- Enviado por: Alex2.0

    El día 18 de julio de 2008 a las 23:01

    Ya me lo habían recomendado y me quede con ganas de saber un poco mas, muy buen trabajo como siempre.

    Definitivamente el quijote es el segundo(tercero a quien prefiera) mas grande libro de todos los tiempos, pero cuando se trata de ejemplares impresos el #1 es un catalogo de decoraciones, Creo que se llama “ICAI” curioso ¿no?

    Otro saludo desde México.

    P.D. Me gustaria que le dedicaras un post a Julio Verne el hombre que se adelanto con la imaginación a su era.

  12. #12.- Enviado por: omalaled

    El día 19 de julio de 2008 a las 00:50

    Dani: Ciomo te dice Koki, es el postulado de las paralelas. Para ir haciendo boca, pásate por este artículo de gaussianos y ya tendrás una idea.
    Moria: muchas gracias.
    Haplo: prometida la segunda parte, que también tendrá su punto curioso :-)
    Kunzahe: disfruta ese libro, que es una joya
    Alex2.0: pero no me sirve un catálogo, sino algo que no cambia en el tiempo. Aun así, creo que no es el segundo más vendido de la historia, pero sí es el libro con más ediciones desde que Gutenberg inventó la imprenta.

    Salud!

  13. #13.- Enviado por: Daniel

    El día 19 de julio de 2008 a las 05:11

    uuuuuuuuufffff….

    hay tantas cosas que no see, y gente de la que nunca oii su obra, y sobre todo, libros que nunca lei…

    Genial omalaled, como todos tus articulos, siempre es un placer leerlos…

    Espero que estes bien!

    Saludos!

  14. #14.- Enviado por: Alejandro

    El día 19 de julio de 2008 a las 17:25

    Dicari!!!

    Gracias por comentar mi blog!!!

    Eres la primera persona que lo hace!!!

  15. #15.- Enviado por: Alejandro

    El día 22 de julio de 2008 a las 21:27

    Hola a todos:

    Me ha surgido una duda leyendo el artículo “Las leyes físicas y el universo”

    Las leyes físicas cumplen las siguientes características: son universales, absolutas, eternas y omnipotentes. ¿Qué ocurre con el conocimiento científico, siendo que para éste la verdad es provisional? ¿No ocurreuna contradicción o son temas diferentes?

    Si alguien pudiera aclararme esta duda, se lo agradecería mucho.

    Un saludo a todos…

    Alejandro Lara V.
    Chile

  16. #16.- Enviado por: Patto

    El día 23 de julio de 2008 a las 14:21

    Excelente relato!
    Como siempre, un gusto leerte.

  17. #17.- Enviado por: omalaled

    El día 23 de julio de 2008 a las 23:47

    Daniel: muchas gracias; de momento, voy tirando bien :-)
    Alejandro: una cosa son las leyes y otra las teorías. Las que son (o pensamos que son) universales, absolutas, eternas y omnipotentes, son las leyes (Ley de Coulomb, Ampère, Newton). Otra cosa es que una teoría es un intento de modelizarlas. ¿COntesta eso tu pregunta?
    Patto: Muchas gracias.

    Salud!

  18. #18.- Enviado por: Alejandro

    El día 26 de julio de 2008 a las 01:01

    Hola…

    Gracias por contestar mi pregunta. Ahora me queda más claro.

    Muchas gracias!!

  19. #19.- Enviado por: Marfil

    El día 26 de julio de 2008 a las 01:07

    Entre el mogollón y tanto de ediciones hay una curiosa de Hawking, “A hombros de gigantes”, que reune selecciones (sólo una parte incompleta de la obra) con explicaciones al pie de página de los ‘Elementos’ y varios otros libros emblemáticos de las matemáticas y la geometría: Aritmética de Diofanto, Geometría de Descartes, Principia de Newton, Ensayo sobre las probabilidades de Laplace… Reimann, Cantor, Gödel y varios más.

    Sirve como abrebocas e introducción para meterse de lleno a estas obras; en los “Elementos” empieza por comentar algo interesante, lo citó:

    “Definiciones: 1. Un punto es lo que no tiene partes.” La definición recoge la idea tradicional de punto como aquello que es indivisible en partes. Pero no incurre en el vicio que Aristoteles atribuye a las definiciones habituales de su tiempo, el de definir lo anterior por referencia a lo posterior: el punto como límite de la línea, la línea como límite de la superficie, la superficie como límite del cuerpo sólido (Tóp. VI 4, 14b15-27).

    Sin embargo la definición 3 de los Elementos dice: “Los extremos de una línea son puntos”, lo que no me hace estar tan seguro de que se logre evadir el vicio mencionado por Aristóteles. Me parece relevante para el tema en discusión, dado que las definiciones anteceden a los postulados o axiomas, esto significa que no sólo debemos tratar con el contenido de los axiomas que no se puede discutir, sino además con la forma en que en primer lugar aprehendemos los conceptos con los que se enuncian; sólo tenemos aproximaciones físicas a los conceptos de “punto”, “línea”, “superficie”, “volumen”, etc. ¿Sin embargo que es lo que realmente significa el que geométricamente una línea con dimensión 1 se pueda “construir” a partir de infinitos puntos carentes de dimensión?

    Esto mismo sucede en la “teoría de conjuntos” sobre las que se cimientan las matemáticas: Sus conceptos de partida se construyen sobre ideas intuitivas en las que debemos confiar, “Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente.” Georg Cantor

    ¿Qué piensas al respecto Omalaled?, sé que lo he planteado de manera bastante ambigua, pero de manera reducida o más concreta sería: No sólo tenemos que aceptar un marco de axiomas como punto de partida, además de ello siempre topamos con que nuestros razonamientos formales tienen por principio conceptos e ideas intuitivas, de este modo ¿cómo podemos estar seguros de que nuestro conocimiento parte del punto correcto?.

    Pd: También te encargo la otra pregunta en negritas sobre los puntos y las líneas.

  20. #20.- Enviado por: Moria

    El día 26 de julio de 2008 a las 08:44

    Corrijanme si me equivoco, porque apenas lo estoy estudiando, pero es imposible hacerlo, solo podemos tratar de encontrar la correcta relación entre nuestros sentidos y nuestros sistemas formales; Gauss intentó en su tiempo determinar que geometría seguía el mundo real (ya ven el merengue que se traían en esos ayeres con el descubrimiento de otras geometrías no euclidianas) y se dio cuenta de que ninguna calzaba exactamente en nuestro mundo. Creo que no podemos establecer una relación directa entre este mundo lleno de interacción entre diferentes variables que nosotros mismos no conocemos y nuestros rudimentarios modelitos a escala que intentamos probar con nuestros sistemas, por lo que al final tendremos que confiar siempre en que juiciosamente escojamos correctamente los postulados iniciales, ese es el gran mérito de Euclides, lo hizo muy bien (weno, a excepción del 5o postulado), un ejemplo para toda la ciencia moderna. Peano trató (y creo que logró) realizar lo mismo con la teoría de números; pero eso solo es confianza en el investigador. (Se podría discutir que tanto eso estaría fuera del ámbito científico “puro” y dentro del campo filosófico)

    Ya Gödel lo demostraría después (bueno, se deduce de su teorema), un sistema lógico cerrado o es completo o es consistente, no ambos.

  21. #21.- Enviado por: omalaled

    El día 26 de julio de 2008 a las 10:22

    Marfil: que tienes razón. Siempre hemos de basarnos en algo que nos dice la intuición. Por ejemplo, Euclides dijo que una recta podía prolongarse hasta el infinito por sus extremos… pero ¿podemos realmente hacer una cosa así físicamente? Es más: si te digo que me definas qué es una recta, creo que te meteré en un lío :-) Hay cosas que simplemente las ves por intuición y las aceptas.
    Moria: ojo. Los axiomas son lo que son. Piensa que cambiar un axioma es cambiar la geometría, pero eso no significa que esté bien o mal. Euclides necesitó su quinto axioma para muchas cosas en el espacio euclídeo. Ahora bien, otro axioma dice “el todo e mayor que la parte”. Pues ese axioma, en el caso de la matemática transfinita de Cantor, sencillamente, no rige.

    Salud!

  22. #22.- Enviado por: Moria

    El día 26 de julio de 2008 a las 19:34

    Si omalaled, estoy de acuerdo, pero yo no quiero decir que los axiomas sean correctos o no, sino que tenemos que confiar en que intuitivamente sean fiel reflejo del fenómeno (si es que podemos llamarle así) o el concepto que están definiendo; es decir, no creo que podamos decir que un axioma es correcto (Gödel diría mucho mas), sino que es pertinente en el sistema, otra cosa es que para crear otro sistema (llamemosle nuevo) a partir de una parte de los axiomas del sistema original que ve las cosas desde otro punto de vista, algunos de esos axiomas no sean pertinentes, seamos realistas, eso fue lo que sucedio con la geometria hiperbolica, simplemente tomaron los principios de Euclides sin el quinto y vieron las cosas desde otro punto de vista, donde se dieron cuenta de que el quinto postulado ni siquiera era cierto en ese sistema (weno, se que estoy simplificando mucho, pero es para no alargarme).

    Por lo tanto, creo que de un axioma solo podemos decir que es pertinente en un sistema y ya.

  23. #23.- Enviado por: Dani

    El día 29 de julio de 2008 a las 20:37

    Muchas gracias por vuestras respuestas he aprendido mucho sobre el tema.

  24. #24.- Enviado por: Juan Miguel Suay Belenguer

    El día 1 de agosto de 2008 a las 13:44

    Todo ser humano que se considere culto debe haber dedicado, aunque sea una sola tarde, a desmadejar un teorema de los elementos de Euclides…yo lo he hecho y es un placer