Georg Cantor y el infinito

Publicado el 8 de febrero de 2005 en Historias de la ciencia por omalaled
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¿Qué es el infinito? ¿El número de granos de arena de una playa, o el de estrellas que vemos en el cielo? En realidad, semejantes cifras no están más cerca del infinito que otras más modestas como 2, 15 ó 3.089.
 
El gran matemático David Hilbert ponía como ejemplo un hotel de infinitas habitaciones y un viajero que llega ve en la puerta el cartel que dice “completo”. El conserje dice que el ocupante de la habitación 1 se mude a la 2, el de la 2 a la 3 y así sucesivamente. Así, la habitación 1 queda vacía; todos los ocupantes del hotel tienen, como antes, una habitación, y el hotel seguirá, también como antes, completo.
 
Ahora supongamos que en vez de llegar un solo viajero, llegaran infinitos. El conserje, esta vez, dice que el ocupante de una habitación se meta en la del doble de su valor (1 a la 2, 2 a la 4, 3 a la 6 …). Ahora nos quedarán todas las habitaciones impares libres … ¡infinitas! ¡y tan infinitas como antes!! El particular comportamiento del hotel de Hilbert es apenas una pequeña anomalía que se presenta al operar con el infinito.
 
El secreto está en la numeración de los huéspedes y las habitaciones. Por ejemplo, si ponemos 1,2,3, … infinito (las habitaciones) y escribimos sobre ellos los pares (los huéspedes), tenemos:
 
2 4 6 8 10 12 …
1 2 3 4 5 6 …
 
Dada cualquier habitación conocemos el huésped que la ocupa. Y viceversa: dado cualquier huésped, sabemos qué habitación tiene. El infinito de los números positivos es el mismo que el de los pares. Lo mismo sucede con los negativos:
 
1 -1 2 -2 3 -3 4 -4
1 2 3 4 5 6 7 8
 
Así, al huésped 20 le correspondería la habitación 39 y al -20 la 40. A la habitación 50 le corresponde el huésped -25 y a la 49 el 25; por tanto, el infinito de los números positivos es el mismo que el de los números positivos y negativos.
 
Esto, que se puede demostrar incluso con fracciones, deja de ser válido con los números irracionales (pi, raíz de 2, etc). Por tanto, el infinito de los números irracionales es más grande que el infinito de los números positivos. Nunca podríamos llenar el hotel de Hilbert con un número infinito de huéspedes con etiquetas irracionales.
 
Quien pensó esto fue Georg Cantor, nacido en 1845. Ya desde su edad escolar demostró un talento especial para las matemáticas. Su padre, un comerciante danés, quería que su hijo estudiara ingeniería pero a Georg le atraían las matemáticas puras y a eso se dedicó toda su vida. En 1867 obtuvo su doctorado magna cum laude en la Universidad de Berlín y en 1874 publicó sus excitantes ideas sobre la teoría del infinito (de las que os he dado una pincelada) y la teoría de conjuntos. Antes que él Galileo había percibido breves destellos del concepto, pero Cantor fue el primero en elaborar una estructura lógica completa. Consideró estos conjuntos como entidades completas con un número de elementos infinitos completos. Llamó a estos números infinitos completos «números transfinitos» y articuló una aritmética transfinita completa.
 
Por este trabajo fue ascendido a profesor en 1879. Sus ideas provocaron muchas reacciones negativas, particularmente las de su maestro de la Universidad de Berlín, Leopold Kronecker. El concepto de infinito en matemáticas había sido tabú hasta entonces, y especialmente Kronecker hizo lo imposible por arruinar su carrera. Estancado en una institución docente de tercera clase, privado del reconocimiento por su trabajo y constantemente atacado, sufrió su primera crisis nerviosa en 1884. Sus teorías sólo fueron reconocidas a principios del siglo XX, y en 1904 fue galardonado con una medalla de la Royal Society de Londres y admitido tanto en la Sociedad Matemática de Londres como en la Sociedad de Ciencias de Gotinga. Hoy las ideas de Cantor están aceptadas y se le considera como el padre de la teoría de conjuntos, punto de partida de excepcional importancia en el desarrollo de la matemática moderna. Murió en 1918 en una institución mental.
 
Fuente: “De los números y su historia”, Isaac Asimov



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