Benoit Mandelbrot y las fractales
La palabra “fractal” puede provocar fuertes dolores de cabeza a quien la desconoce y gran alegría a quien la conoce. Buscando por Internet encontraréis mucha información sobre la geometría fractal, pero lo que no he encontrado (o no he sabido encontrar) es su historia. ¿Sabíais que todo empezó porque alguien quería conocer exactamente la longitud de la costa de Inglaterra?
Bien, ¿y qué longitud tiene la costa de Inglaterra? La respuesta no es tan simple como pudiera parecer a primera vista. Imaginemos que la estamos observando desde un satélite y tomamos medidas. Si ahora la recorremos a pie, ¿saldría la misma distancia? ¿y si la recorriera una bacteria?
Desde el satélite vemos unas líneas “más o menos rectas”, pero si la recorremos caminando encontramos pequeños obstáculos que debemos rodear y si somos una bacteria tendrán importancia hasta los granos de roca que estemos recorriendo. Podemos continuar indefinidamente hasta encontrarnos con el tamaño y forma de los átomos. Fijaos que a medida que nos hacemos más pequeños o que nos acercamos más y más, la distancia aumenta. Cada bahía que viéramos desde el espacio tendría sub-bahías cada vez más pequeñas que a su vez tendría más sub-bahías.
Todo esto rondaba la cabeza de Benoit Mandelbrot después de haber leído un artículo de un científico inglés llamado Lewis F. Richardson (1881-1953). Richardson se había sorprendido después de haber consultado enciclopedias en España, Portugal, Bélgica y Holanda donde encontraba una discrepancia de hasta un 20% en las medidas de las fronteras entre países. Si todos medían la misma cosa y con el mismo sistema métrico, ¿por qué esas discrepancias?
A raíz de ello, Mandelbrot escribió un artículo titulado precisamente “¿Qué longitud tiene la costa de Inglaterra?”. Cuando lo presentó ante un consejo científicos, los oyentes quedaron perplejos. No sabían si ese tipo estaba completamente chiflado o lo que decía era penosamente evidente. Pues podían pensar lo que quisieran, pero las respuestas que daban a esas preguntas eran las mismas: “no es mi campo”, o “ahora mismo lo busco en la enciclopedia”.
Mandelbrot pensó en un objeto cotidiano, por ejemplo, una bola hecha con un cordel. Si la miramos de lejos, se reduce a un punto: dimensión matemática cero. Pero a medida que nos acercamos aparece un objeto borroso de tres dimensiones. Si nos acercamos más todavía el concepto “bola” desaparece y el cordel resalta de forma evidente apareciendo enmarañado sobre sí mismo utilizando el espacio tridimensional. La pregunta es, ¿cómo se puede dar rigor matemático a una construcción como esta?
El problema estaba en definir correctamente los conceptos “lejos” y “cerca”. ¿Cuándo es exactamente el punto en que la bola pasaba de tener dimensión cero a tener dimensión tres?. Para resolver este problema Mandelbrot hizo una innovación. En lugar de quedarse con cuatro posibles dimensiones (cero es el punto, uno la recta, dos el plano y tres el espacio; total cuatro posibles dimensiones) postuló una sucesión de dimensiones fraccionadas, por ejemplo 1,2 o 2,6. Por ejemplo, dimensión 1 es una recta y dimensión 2 un plano. Pero una dimensión fraccionaria entre 1 y 2 es una línea que no se cierra sobre sí misma y que recorre el plano sin llegar a convertirse en toda la superficie.
En 1975 todavía no tenía nombre para estas formas no euclídeas. Mientras hojeaba el diccionario de latín de su hijo dio con el adjetivo “fractus” del verbo “frangere”: romper, así que las llamó fractales. Por ejemplo, un río tendrá una dimensión alrededor de 1,2. La línea no se habrá convertido en un plano pero sí podrá extenderse a todas las partes del papel.
Por aquel entonces, Mandelbrot contaba con los recursos informáticos de IBM que le permitieron dibujar esas curvas fractales en el ordenador. Las primeras imágenes que vio fueron una sorpresa para él, pero a medida que dibujaba unas y otras empezó a reconocer patrones. En 1977 culminó con su libro “La geometría fractal de la Naturaleza”, que es una ampliación de “Los objetos fractales”. Tuvieron un éxito tremendo. Se vendieron más ejemplares que ningún otro libro de matemáticas superiores. Empezó a ganar premios y honores profesionales. Es quizás el matemático más reconocido de los últimos años.
Sin embargo, sería injusto no nombrar aquí a Gaston Maurice Julia (1893-1978) porque fue quien primero lo había estudiado explicando cómo se pueden generar a través de cualquier función compleja. Fue quien dijo que sería un conjunto cuya frontera sería imposible dibujar a pulso por ser de longitud infinita. Fue galardonado por la Academia de Ciencias de Francia gracias a un artículo de 199 páginas cuando contaba con 25 años de edad. Desgraciadamente para él, las fractales se hicieron famosas a partir de los años 80, cuando ya había muerto, y fue, sobre todo, gracias a los ordenadores. Todas las cosas que Gaston Julia había hecho a lápiz, Benoit Mandelbrot las hizo sobre la pantalla de un ordenador.
¿Tiene aplicaciones la geometría fractal? Sólo hay que pensar que la naturaleza no acostumbra a tener una geometría euclídea, sino fractal. Montañas, franjas costeras, sistemas hidrográficos, nubes, hojas, árboles, vegetales, copos de nieve, y otros objetos son buenos ejemplos de ello. Otro ejemplo muy clásico son los vasos sanguíneos que se dividen y ramifican haciéndose cada vez más pequeños. Y lo que es más sorprendete: no ocupan más del 5% de nuestro cuerpo. Dicha geometría provee una descripción y una forma de modelo matemático para las complicadas formas de la naturaleza. La geometría fractal se ha utilizado incluso en compresión de datos informáticos.
Estos estudios han ayudado a científicos a ver cómo se combinan y ramifican las cosas o el modelo en que se rompen cuando antes no habían tenido manera sistemática de comprenderlas. Aquí os pongo una foto del romancescu (Brassica oleracea) en el que se puede apreciar su geometría fractal.
Las formas fractales tienen una característica que las hace matemáticamente muy curiosas. Su área es finita (tiene límites) pero su longitud es infinita (no tiene límites). Otra característica que tienen es que son recursivas. A medida que vamos observando detalles más y más pequeños nos encontramos con los patrones que teníamos al principio pero a escala menor.
Aunque todavía muchos matemáticos y físicos lo miraban con desconfianza han tenido que reconocer sus méritos. Un matemático explicaba el chiste en que se despertaba angustiado por una pesadilla en la que había oído la voz de Dios que le decía:
“Oye, este Mandelbrot sabe de verdad lo que se hace”.
Las cosas han evolucionado mucho y hoy día existen incluso Concursos de Arte Fractal. Pero respecto la belleza de las fractales, me quedo con la opinión de Tio Petros:
Alguien debería decir que la belleza de los fractales es enorme, pero NO ESTA EN LAS FOTOS que se exhiben de los mismos. De hecho, estas imágenes no son fractales en absoluto; son y seguirán siendo por siempre burdas aproximaciones. Al conjunto de Mandelbrot nunca lo ha visto nadie, que diría San Pablo. Todo esto es cosmética, en una civilización tendente a lo fácil, rápidamente consumible y más rápidamente aún olvidable.
Me carga la frase de que una imagen vale más de mil palabras. Y me carga porque ni siquiera puedo decir que sea falsa. Lo que no me cabe duda es de que muchas veces una palabra vale por mil imágenes, y no digamos una ecuación. Dado que vivimos una época audiovisual, nos estamos olvidando del lenguaje, de las letras y de los placeres tranquilos. Si no genera adrenalina en un femtosegundo, no vale una mierda.
(…) No sé si existen batallas más importantes; supongo que sí. Pero si vamos a buscar la belleza, no creo que debamos conformarnos con la cosmética
En fin, que cuando busquéis algún tema de conversación, sacad el tema de la longitud de la costa de Inglaterra. A buen seguro, habrá muchas cosas interesantes de las que hablar.
Fuentes:
“¡Eureka! Descubrimientos científicos que cambiaron el mundo”, Leslie Alan Horvitz
“El libro de los hechos insólitos”, Gregorio Doval
http://www.seed.slb.com/es/scictr/lab/math/jul02.htm
http://lolamr.blogalia.com/historias/40194
http://www.microsiervos.com/archivo/ciencia/concurso-de-arte-fractal.html
http://www.geocities.com/capecanaveral/cockpit/5889/intro.html
http://www.oni.escuelas.edu.ar/olimpi99/fractales/que_son.htm
http://personal.iddeo.es/dinerz/Galeria1/gal1.htm
http://www.fractalia.com.ar/geometria_tipos.htm
http://www.fourmilab.ch/images/Romanesco
http://www.geometriafractal.com
El día 17 de agosto de 2006 a las 02:01
No me queda muy claro por qué la longitud es infinita.
¿Aunque el patrón se repite infinitamente no se va haciendo cada vez más pequeño? ¿No debería tener un limite?
El día 17 de agosto de 2006 a las 02:09
No, .Marfil. Nos acercamos y encontramos una subestructura y al acercarnos más, se hace más compleja hasta repetir lo mismo que veíamos al principio y así sucesivamente. Físicamente, los átomos nos paran porque no hay nada más allá (eh, uff, de momento); pero matemáticamente, podemos llegar al infinito.
Mira el primer enlace (este) Pues así una y otra vez …
¿Lo pillas?
Salud!
El día 17 de agosto de 2006 a las 02:12
Me ha encantado, ha sido un post increible ¡felicidades por el artículo!
El día 17 de agosto de 2006 a las 07:37
No lo pillo
No es como estar sumando decimales cada vez menores? por ejemplo 0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,0001
Se que es infinito porque lo he leído en varias partes (vaya chapuza de comprobación
), pero sigo sin saber por qué.
El día 17 de agosto de 2006 a las 11:00
Muchas gracias, foo-bar.
.Marfil., Míralo de otro modo: es como la mitad de la mitad. Nunca acaba matemáticamente. Esi sí lo piillas, supongo
El el enlace del comentario anterior es cono si cada recta la divides por la mitad y haces otro quiebro. Y otra vez, y otra, … hasta el infinito, nunca se acaba. Por muy potente que fuera el microscopio con el que miraras, siempre sería más pequeño.
De ahí las frases de Tío Petros en que dice que en realidad, las fotos son una aproximación y no la realidad. ¿Pillas algo más?
Salud!
El día 17 de agosto de 2006 a las 11:46
En Internet hay varios “Mandelbrot Explorers”, por ejemplo: http://users.nac.net/thegangof4/blackSaturn/mandelbrot/MandelbrotSetExplorer.htm
(buscando “mandelbrot explorer” en cualquier buscador se pueden encontrar más)
El día 17 de agosto de 2006 a las 12:15
.Marfil y omalaled,
Creo que para entender mejos lo de la longitud infinita es más claro si hablamos de series (suma de los términos de una sucesión).
Si no recuerdo mal:
1+1/2-1/4+1/8+…= 2
pero,
1+1/2+1/3+1/4+1/5+… = infinito
De manera que, si en las sucesivas iteraciones, aumenta la longitud lo suficiente, la longitud final puede ser infinito. Y una línea en un espacio finito, con longitud infinita, tiene una dimensión que no es 1 ni 2.
A mí, la que me hace mucha gracia es la esponja de Sierpinski (http://sabia.tic.udc.es/gc/trabajos%202004-05/fractales/sierpinski.htm), que a base de quitarle cubitos a un cubo, acaba teniendo una dimensión de 2,7268.
Por cierto, otra cosa que me hace gracia es que Mandelbrot, en alemán, significa pan de almendras; o sea, turrón.
El día 17 de agosto de 2006 a las 12:41
Marfil, probablemente te será más fácil de comprender con la fábula de la liebre y la tortuga o de la flecha y la diana. No recuerdo que filósofo de Grecia las usó porque me lo enseñaron hace más de 15 años, pero básicamente son así:
Una liebre trata de alcanzar a una tortuga que corre a mitad de la velocidad que la liebre. Cada vez que la liebre ha recorrido la mitad del camino la tortuga ha avanzado la mitad de dicha distancia. La siguiente vez que la liebre ha recorrido la nueva mitad del camino, de nuevo la tortuga ha recorrido la mitad de esta distancia, y así sucesivamente. De esta forma se llega a la conclusión de que la liebre jamás alcanzará a la tortuga.
Digamos que el truco esta en el punto de vista que en lugar de enfocar el momento en que la liebre alcanza a la tortuga siempre enfoca la mitad de la distancia recorrida y de esta forma a lo que se le da importancia no es a la distancia en sí, si no al tiempo que tarda en alcanzarla que es infinitamente divisible.
El día 17 de agosto de 2006 a las 13:05
Zenon de Elea.
El día 17 de agosto de 2006 a las 13:15
En realidad, creo que lo de la liebre y la tortuga es una fábula de Esopo. Zenon habla de Aquiles y la tortuga, que es donde sale lo de la mitad de la distancia recorrida. En la fábula, lo que le pasa a la liebre es que se duerme.
El día 17 de agosto de 2006 a las 13:22
Alberto se refería a Aquiles y la tortuga … ufffff, cuántos años hace que iba a clases de filosofía … demasiados
Salud!
El día 17 de agosto de 2006 a las 13:24
Gracias chicos, que mi memoria ya hace aguas
Estuve buscando y no lo encontraba (claro, si es Aquiles y no una liebre me costaba encontrarlo xD). Ahora buscaré a Zenon de Elea (de nuevo, gracias).
El día 17 de agosto de 2006 a las 13:31
Enlace a la wikipedia de las paradojas (que no fabulas) de Zenon (y una vez más, gracias):
http://es.wikipedia.org/wiki/Paradojas_de_Zen%C3%B3n
El día 17 de agosto de 2006 a las 13:45
En realidad, como comenté creo que en Malaciencia, el problema es que Aquiles tenía serios problemas en el talón, y la tortuga decía siempre la verdad, por lo que no es de aplicación que “se coge antes a un mentiroso que a un cojo”.
O sea, que no hay paradoja.
El día 17 de agosto de 2006 a las 17:16
interesante
El día 18 de agosto de 2006 a las 03:00
Pero es que precisamente en el caso de la paradoja de Zenon y la sumatoria de mitades, da como mostró “In I Go” no da infinito. Que eso fue lo “revolucionario” del cálculo infinitesimal, el acabar con la paradoja de Zenon que suponía que la suma de infinitos números tenía que dar por narices uno infinito, y no es así.
En el escrito da la impresión que se usará la paradoja de Zenón como explicación.
Me queda algo más claro con la explicación de “In I Go”; y plantearía una duda en base a ello:
¿Los fractales son las figuras que cumplen esa condición de que su sumatoria de infinito (y no un número finito), o es que necesariamente cuando se empieza a “fraccionar” una dimensión pasa eso?
En la wikipedia, dicen que un fractal debe cumplir esta cosa:
“Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es mayor que su dimensión topológica e incluso fraccionaria.”
Que no se si sea a lo que me refiero u otra cosa.
El día 18 de agosto de 2006 a las 03:01
Ya puestos que he armado desorden; es una lastima que el blog de Tio Petros no reciba ya más comentarios, así que por fuerza comento acá:
Diría que ciertamente esa forma despectiva en que se refiere a los fractales “visuales”, se desprende no de estar insatisfecho con ellos, sino simplemente fastidiado por la ignorancia matemática que pulula en nuestras épocas (Otra baza más para el autor, pues yo no tengo la más remota idea de cuando es que las matemáticas han sido populares…), y ha corrido el riesgo de despotricar contra todo bicho que se mueva, yo diría sin mucho atino.
El problema de categorizar conceptos tan esquivos como lo “bello” o lo “feo”; es que muchas veces se parte solo del resentimiento y el rencor, no para decir: ESTO ES ARTE, ESTO ES BELLO, sino para señalar odiosamente: ESO OTRO ES BASURA.
Así simplemente no hay forma de llegar a buen puerto.
El día 18 de agosto de 2006 a las 03:02
¿Son las matemáticas bellas? No se, depende de la definición que usemos, solo advierto que si queremos abarcarlas en esa idea, llegaremos a una noción de que todo es bello, ya que el mundo tiene la “costumbre” de ser matemático (número para los pitagóricos). El número Aureo, y en este caso los fractales, que tanto nos maravillan en la naturaleza obedecen a un sentido de “simpleza” y que alguien puede decir -si le da la gana- que es una “chapuza”; en ambos casos no son más que la instrucción más simple para generar el crecimiento y la evolución. (¿Conoceís algo respecto a aquel programilla de Dawkins, que era poco más que eso, y que incluso lograba crear insectos virtuales?).
Yo en referencia a lo bello me atendría más a esta cita:
Me recuerda una cita que dice:
Lo bello es aquello que es inteligible sin reflexión.
André Maurois
Me parece que el uso de la idea de “Bello” en las matemáticas peca de ser circular: Lo bello es las matemáticas, así que por eso las matemáticas son bellas. Dejemoslo en que son matemáticas, y démosle una oportunidad a la palabra “bello” (más cultural que intelectual), una oportunidad de tener un sentido que abarque una categoría que aún no este definida.
El día 18 de agosto de 2006 a las 03:03
Es claro que el arte fractal no crea fractales de verdad; sin embargo hay ya estamos en otro juego aún más peligroso: ¿Cuándo ha sido el arte una expresión fidedigna de la realidad? si es así, una fotografía vale más que un cuadro, y ni que decir de una tabla de datos.
Otro punto en donde de nuevo caemos es el tópico de la dificultad y el tiempo que requiere hacer algo; y en este caso de nuevo el autor cae solo por resentimiento a adoptar que lo que lleva tiempo y lo difícil es lo único que vale la pena (Parece una pura antitésis a lo que el dice: Si no genera adrenalina en un femtosegundo, no vale una mierda.). ¿Entonces, por yo tardar más en entender o crear algo, por mi propia torpeza, algo se convierte en belleza?, no, la belleza no es un premio de consolación a lo arduo, y si queremos que lo sea, digamoslo sin matices y no como si fuera una batalla por reivindicar el tema.
Yo diría que la belleza y el arte no se encuentran en su significado, sino en el objeto en sí: En la obra. Y ahí las matemáticas no tienen cabida, pues su “belleza” solo radica en el significado, no en el propio objeto.
Como no hay emoticons ni nada de ello, aclaro que lo digo en el mejor tono y sin molestias.
Había escrito algo al respecto, al estilo de mis tochos:
http://marfilium.blogspot.com/2006/03/shemhamforash-rompiendo-el-misterio.html
(Vaya me dice el sistema que esto ya es un tocho, así que lo fractalizaré, disculpas por el caos….)
El día 18 de agosto de 2006 a las 03:16
Algo respecto a los biomorfos de Dawkins que comentaba:
http://www.homowebensis.com/bichos.html
(Me escondo debajo de una piedra. 4posts seguidos! )
El día 18 de agosto de 2006 a las 09:21
.Marfil, me parece muy interesante lo que comentas sobre tu forma de ver la belleza y el arte. Por cierto, animo a todos los que puedan a ir a la actividad Fractal art del ICM de madrid http://www.icm2006.org/culturalactivities/fractalart/
y a Demoscene: Mathematics in movement http://www.icm2006.org/culturalactivities/other/demoscene
Porque uno y otro no tienen por qué no ir de la mano. Saludos
El día 18 de agosto de 2006 a las 10:51
.Marfil escribe:
“¿Los fractales son las figuras que cumplen esa condición de que su sumatoria de infinito (y no un número finito), o es que necesariamente cuando se empieza a “fraccionar” una dimensión pasa eso?”
Como aficionado (que lo fui en los años 80) te contesto: sí. Si alguien sabe más del tema, que me corrija.
El fractal más conocido probablemente sea la isla de Koch (o copo de nieve de Koch), que es el primer enlace en los comentarios de omalaled, y que también puede verse en:
http://matap.dmae.upm.es/cursofractales/capitulo1/2.html
Ahí se explica cómo su longitud es infinita, y cómo, además, es una curva que no admite tangentes.
Esto hace que sea una “curva gorda”, que ocupe más puntos del plano que una “curva normal”. Por ello su dimensión es mayor que 1 (línea), pero no llega a 2 (superficie). En concreto, en este caso es de 1,261859.
El día 19 de agosto de 2006 a las 00:58
Sólo un comentario sobre el detalle de las palabras de Tio Petros. No está dicendo que las fotos sean feas y las matemáticas bellas. Quien dude de la belleza de las matemáticas es porque no las conoce. Eso está claro.
Lo que dice es que en esas fotos no es donde está la belleza de las fractales, sino en su filosofía, su generación, etc. El llama a las fotos “cosmética” y busca dejar boquiabiertos así de sopetón a cualquiera y que la otra belleza (la de la geometría fractal), es mucho más profunda y más real.
Pero como siempre, todo esto es interpretable. En mi opinión las fotos son muy bonitas y espectaculares, pero el concepto de geometría fractal lo rebasa.
¡Caray!, In I Go … ¿aficionado a las fractales en los 80? Pero si todavía estaban los 80286 con el botón del turbo … ¡Madre mía! …
Salud!
El día 19 de agosto de 2006 a las 10:14
“¿Los fractales son las figuras que cumplen esa condición de que su sumatoria de infinito (y no un número finito), o es que necesariamente cuando se empieza a “fraccionar” una dimensión pasa eso?”
Por lo que conozco sobre el tema… no.
En realidad los fractales son imágenes autosimilares. Esto es, imágenes para las cuales al menos un sector de la misma es, no parecido sino idéntico a sí mismo (excepto por rotaciones, redimensiones, etc. Por ejemplo en los fractales de mandelbrot siempre se puede tomar un sector de la imagen que, si se aumenta y rota un poco, resulta idéntico a la imagen original. De modo que, como la imagen contiene en partes de sí misma la propia imagen original, entonces se termina repitiendo una y otra vez, infinitas veces, a sí misma en la misma.
En cambio, no creo que sea un requerimiento para un fractal que tenga longitud infinita. Algunas superficies fractales tienen esta rara propiedad de tener área finita y perímetro infinito (como el copo de Koch), pero no estoy tan seguro de que esto deba funcionar para todos los fractales (de hecho una línea recta se puede considerar fractal, ya que se contiene a sí misma infinitas veces… y sin embargo tiene longitud finita).
El día 19 de agosto de 2006 a las 10:29
Omalaled, no he dicho que lo practicara, sólo que era aficionado, como los que van al fútbol. Por cierto, el último partido al que asistí fue un Barça-Sabadell, cuando éste estaba en Primera, y esto no quiere decir que sea de Barcelona.
Tampoco soy matemático, por lo que leía textos bastante superficiales, sobre todo en la maravillosa revista Cacumen, que para mí eran suficientes.
En cuanto al ordenador, soy maquero. El primero que tuve fue un Mac Plus, que tenía nada menos que 1 Mb de memoria, HD externo de 20 Mb, una inmensa pantalla de 9″, además de ratón y WYSIWYG. Todos mis amigos peceros me decían que “era para tontos”. Todavía lo tengo, y, la última vez que lo encendí, funcionaba.
El día 19 de agosto de 2006 a las 10:32
Hernan, gracias por la aclaración.
El día 19 de agosto de 2006 a las 15:00
Un ejemplo para “visualizar” de alguna manera que en una superficie finita puede darse una distancia infinita es la siguiente (basado en la historia de las distancias mitades de la paradoja ya comentada de Zenón)
Imaginemos un cuadrado de 1×1 cm (1 cm2). Dibujemos una línea vertical que lo divida en dos partes. Esa línea mide 1 cm de largo. Ahora dibujemos dos líneas verticales más que dividan a las dos mitades anteriores en dos más (con lo que ahora el cuadrado queda dividido en cuatro rectángulos verticales). Unamos esas 3 líneas verticales con dos horizontales, a modo de serpiente (las dos priemra líenas quedan unidas por su parte superior, mientras que las dos sigueintes por su extremo inferior). Esto lo hago para que quede claro que es una línea contínua, pero no voy a sumar las longitudes de esas pequeñas uniones horizontales (no me hace falta).
Bien, hasta ahora tenemos una línea de 3 cm (3 verticales de 1 cm cada una). Podemos seguir aplicando este método hasta el infinito, ya que, y esto es lo importante y lo que creo que constituye la clave, las líneas tienen una única dimensión, esto es, no tienen grosor, por lo que cabrán tantas como queramos. Incluso infinitas. E infinitas líneas de 1 cm de largo cada una hacen que tengamos una línea de longitud infinita en una superficie finita.
Disculpen la demostración medio chapucera, pero creo que la idea está clara.
Saludos,
Ferre
El día 20 de agosto de 2006 a las 18:40
Buff, esto me sobrepasa (como tantas otras cosas…)
A ver, yo tenía entendido que el perimetro de un quadrado era, la suma de la longitud de las 4 línias que la “contenian” (es decir, por un lado estava el interior del cuadrado y por el otro… el vacio, por decirlo de alguna manera.), pero ahora me he perdido :S
Si divido un cuadrado en dos por una línia vertical, hortizontal, diagonal… el perimetro del cuadrado aumentará? :S
El día 20 de agosto de 2006 a las 18:54
No es al perímetro a lo que me refiero, SocJo, sino a suma de las longitudes de las líneas verticales que vamos dibujando dentro del cuadradito.
Pero estoy pensando que igualmente puedes pensar en los perímetros de los sucesivos rectángulos que se van creando. La suma de todos sus perímetros también será infinito. (En el límite, sus cuatro lados tendrán las siguientes medidas: 0 cm los lados superior e inferior y 1 cm los lados laterales, con lo que en el límite, su perímetro será de 2 cm)
Ay, ahora es cuando venía bien poder dibujar aquí, que me quedaría mejor la explicación.
Saludos,
Ferre
El día 20 de agosto de 2006 a las 21:02
Farre y SocJo,
Lo que ha definido Ferre se parece mucho a la curva de Peano, que se puede ver en este link.
El día 20 de agosto de 2006 a las 21:29
Algo así, In I Go, sólo que conservo siempre la longitud vertical de 1 cm.
El día 21 de agosto de 2006 a las 02:16
A ver si esta si:
http://img227.imageshack.us/img227/3821/aaavz2.jpg
(Aunque no lo creáis las líneas eran rojas y no esa cutrez de color que ha salido ahí.)
El día 21 de agosto de 2006 a las 06:43
Es decir, la longitud infinita que dice omalaled es esto de poder seguir trazando línias dentro de la area del cuadrado (por poner un ejemplo)? :S
Es decir, el perimetro si que sera finito en el caso del cuadrado, verdad? (Sinó sumamos los perimetros de los rectangulos).
Luego, una figura rollo costa de Inglaterra, que a medida que te acercas vas viendo más i más, esta tiene el perimetro infinito no? Pero su area también és infinita no? :S
A ver si alguien me ilumina ;-P
El día 21 de agosto de 2006 a las 08:24
Marfil: Esa figura lo aclara todo.
SocJo: Perímetro infinito sí, pero no área infinita. Para demostrar esto último bastaría por encerrar a la isla de Gran Bretaña en un enoooooorme cuadrado que la contuviera (fácil de hacer en un mapa). Como el cuadrado tendría una superficie finita, estaría claro que Gran Bretaña también.
El día 21 de agosto de 2006 a las 11:15
Ahora que parece que todo el mundo tiene el concepto más o menos claro, demos una vuelta de tuerca más. Espero que no se pase de rosca.
Si el perímetro de Gran Bretaña es infinito, su superficie también lo es. Y, en realidad, ninguna de las dos son infinitas, y además, variables.
Me explico. Estamos analizando la costa de Gran Bretaña como si fuera un plano y no existiesen olas ni mareas; como si fuese una línea bien definida e inmutable. Pero no es así. Lo cierto es que las costa (todas las costas, hasta la de un plato de sopa) varían constantemente: viene una ola, y cambia, sube la marea, y cambia…
Esto la hace constantemente variable.
Por otra parte, estamos suponiendo que podemos hacer zooms hasta el infinito. Pero en esta vida, todo tiene un límite. Podremos llegar hasta el tamaño del átomo, o incluso de las partículas subatómicas, pero no más allá.
Con ello, la longitud de la costa de Gran Bretaña será cada vez mayor, pero no llegará al infinito.
Además, no hemos contado con su orografía. En cada monte, en cada árbol, en cada edificio… en cada hormiga que se pasea por GB, podemos hacer zooms que harán que su superficie sea cada vez mayor, pero con el mismo límite de antes.
Por lo tanto, si abstraemos y consideramos la costa británica infinita, su superficie también lo será. Si, por el contrario, nos fijamos (o se nos fija) un límite, tanto la longitud de la costa como la superficie de la isla, serán inmensas, pero nunca infinitas.
SocJo, perdona si te he liado más. Me he salido del concepto matemático. ¡Ganas de liar! La culpa no la tienes tú: el culpable soc jo>/i>.
P.S.: Esto me recuerda a algunos relatos de Borges, que tratan el tema del infinito. En concreto estoy pensando en Funes el memorioso. Si las chorradas que he escrito os dan dolor de cabeza, no lo leáis. Si, por el contrario, os divierten, es altamente recomendable.
El día 21 de agosto de 2006 a las 15:40
mmm, no me has liado, te he entendido
I a Ferre també, gracias por las explicaciones
El día 22 de agosto de 2006 a las 19:37
Muy buenas…sólo quería recomendar, en caso de que andeis estos días por Madrid una exposición de arte fractal para el que le apetezca (con esto del congreso, no paran de hacer cositas). Es en la fundación mapfre, creo.
Un saludo fractal!
El día 23 de agosto de 2006 a las 15:09
La suma de 0,1+0,01+0,001+… no es infinita ni mucho menos, como decía alguien por ahí. Vale 1,1111…
Es una progresión geométrica de razón 1/10, se utiliza la fórmula de la suma, se toma límite y sale.
Hay otra forma más fácil e intuitiva de verlo pues la sucesión es:
0,1
0,1+0,01=0,11
0,1+0,01+0,001=0,111
0,1+0,01+0,001+0,0001=0,1111
….
De donde tomando límite se obtiene el resultado expuesto.
El día 4 de septiembre de 2006 a las 12:18
Aquiles, la tortuga y la flecha http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/rincon.htm
Saludos
El día 4 de septiembre de 2006 a las 12:30
Perdón se me ha quedado a medias el enlace http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Curiosid/rc-64/Rc-64.htm
El día 11 de septiembre de 2006 a las 14:00
Hoy en el diario de Mallorca han publicado una mini-entrevista a Mandelbrot, que casualmente empieza con la pregunta ¿Cuántos kilómetros de costa tiene Mallorca? jejeje La entrevista en sí vienen a ser un poco más de una docena de preguntas, bastante cortas, pero creo que aún así merece la pena echarle un ojo
Un saludete!
El día 11 de septiembre de 2006 a las 19:39
Buen enlace. Yo me quedo con:
Nunca aprendí la tabla de multiplicar, y me costaría llegar al ocho. Tampoco me enseñó el alfabeto, y tengo problemas para buscar un número en un listín telefónico. Todo ello no me ha impedido practicar una matemática de primer nivel, pero no lo recomiendo.
Impresionante.
Salud!
El día 28 de enero de 2007 a las 04:23
fascinante me encanto la informacion me gustaria saber como hacer para que llegara informacion con esta a mi correo o encontrar mas web o libros sobre temas asi gracias si alguien responde
El día 28 de enero de 2007 a las 14:33
Manuel: en los enlaces que pongo en este mismo blog los hay excelentes.
Salud!