El balón de fútbol y los sólidos perfectos

Publicado el 14 de diciembre de 2005 en Curiosidades por omalaled
Tiempo aproximado de lectura: 5 minutos y 57 segundos
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¿Nunca os habéis preguntado sobre la forma de un balón de fútbol? Antes de ello he de hablaros de lo que son los sólidos regulares, perfectos, platónicos o pitagóricos.

Dichos sólidos son aquellos que cumplen que todas sus caras son polígonos regulares (aquellos que tienen sus lados iguales). El ejemplo más conocido es el hexaedro o cubo. Pero existen cuatro más que son el tetraedro (formado por cuatro triángulos equiláteros), el octaedro (ocho triángulos equiláteros), el dodecaedro (doce pentágonos) y el icosaedro (veinte triángulos equiláteros). Os los muestro.

Siempre han tenido un significado un tanto místico.

Los pitagóricos veían en los resultados matemáticos algo parecido a una verdad religiosa. Consideraban muy importante la observación de que había sólo cinco poliedros regulares posibles. Muchos creen que fueron ellos quienes la hicieron por primera vez y por eso llaman “sólidos pitagóricos” a los poliedros regulares. (Lo más probable es que la demostración de esta afirmación se deba a los miembros de esa escuela.) Sin embargo, los arqueólogos han hallado imágenes en piedra de los poliedros regulares considerablemente más antiguas.

Se cree que fue Empédocles quien primero asoció el cubo, el tetraedro, el icosaedro y el octaedro con la tierra, el fuego, el agua y el aire, respectivamente. Estas sustancias eran los cuatro “elementos” de los griegos antiguos. Platón en sus “Diálogos” dice: El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo. No está muy claro por qué Platón asoció precisamente el dodecaedro a la Tierra. Quizás por sus caras pentagonales. De aquí que a los poliedros regulares se los conozca también como sólidos platónicos.

En el siglo XVI, los poliedros regulares inspiraron al joven Kepler una teoría sobre el movimiento de los planetas. Él creía que los radios de las órbitas (circulares) de los planetas estaban en proporción con los radios de las esferas inscriptas en sólidos platónicos dispuestos uno dentro de otro. Recordar que Kepler concluyó que ese modelo era erróneo y que los planetas se movían describiendo trayectorias elípticas cuando conoció los resultados de las observaciones de Tycho Brahe.

Dicho esto, ahora, se plantea una de aquellas preguntas que sólo los matemáticos se hacen (y otros seres de similar pelaje, con toda mi simpatía, entre los que me incluyo). ¿Sólo existen cinco sólidos perfectos? ¿por qué? Para resolverlo hemos de partir del teorema de los poliedros de Euler: CARAS + VERTICES = ARISTAS + 2. A partir de ahora diremos C+V=A+2. Por ejemplo, el cubo tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas, cumpliendo la ecuación: 6+8=12+2.

Más tarde utilizaremos este teorema pero antes vamos a hacer algunas argumentaciones lógicas. Vamos a contar todas las aristas. Pero lo haremos de una forma especial: miraremos una cara y contaremos todas sus aristas, otra cara e igual, etc. Por ejemplo, en el cubo que tiene 6 caras repetiremos esta operación 6 veces. Como una arista separa dos caras, habremos contado las aristas dos veces. El número de caras ya lo habíamos llamado C y el número de aristas en cada cara puede variar en función de la figura (por ejemplo, en el tetraedro u octaedro de caras triangulares hay 3 aristas, por tanto, sería 3). Designaremos ese número con la letra n. Por tanto, tenemos una bonita ecuación: nC=2A. Lo verificamos para el cubo: n=4 (4 aristas por cara), C=6 (6 caras) y A=12 (12 aristas). Se cumple perfectamente: 4*6=12*2.

Este mismo razonamiento lo podemos hacer con los vértices. A cada vértice llegan r aristas (en un cubo serían 3). Ahora tomamos un vértice y contamos todas las aristas que llegan a él; otro vértice e igual, etc. Pero al contar todas las aristas de todos los vértices hemos de tener en cuenta que habremos contado las aristas dos veces otra vez, ya que toda arista toca dos vértices. Conclusión: rV=2A. Por ejemplo, en el cubo r=3 (llegan 3 aristas por vértice), V=8 (tiene 8 vértices) y A=12 (12 aristas). Se ve rápido que 3*8=2*12.

Pues bien, retomando el teorema anterior de Euler C+V=A+2 lo único que debemos hacer es sustituir las fórmulas anteriores deducidas y despejar el número de aristas. Obtenemos la siguiente ecuación:

Recordemos que n era el número de aristas que tenía una cara de un poliedro y r el número de aristas que llegaban a un vértice. Fijaos que r y n son simétricos en esta ecuación, o sea, que cualquier cosa que digamos de r también se puede decir de n. Sabemos que n es 3 o más, porque el polígono más simple es el triángulo, con tres lados. Sabemos también que r es 3 o más, porque en un vértice dado de un poliedro se encuentran por lo menos 3 caras.

Pues bien, se puede razonar matemáticamente que si tanto n como r fueran simultáneamente más de 3 la ecuación no podría satisfacerse para cualquier valor positivo de A. Por lo tanto o bien n=3 y r vale 3 o más, o bien r=3 y n vale 3 o más.

Sustituyamos n=3 y obtendremos todos aquellos que tengan triángulos como caras.

Vemos que r sólo puede ser igual a 3, 4 o 5. Ahora bien, n=3, r=3 designa un sólido en el cual convergen en cada vértice 3 triángulos. El resto de ecuaciones nos dicen que este sólido tiene 6 aristas, 4 caras y 4 vértices. Es evidente que se trata de la pirámide o tetraedro; si ahora hacemos n=3 y r=4 tenemos un sólido con 8 caras en el cual convergen en cada vértice 4 triángulos: el octaedro; y si n=3 y r=5 tenemos un sólido con 20 caras y con 5 triángulos convergiendo en cada vértice: el icosaedro.

Ahora hacemos r=3 y es n la que despejamos.

Y utilizando argumentos análogos n sólo puede ser igual a 3, 4 o 5. Si n=3 tenemos de nuevo el tetraedro, si n=4 tenemos un sólido cuyas caras son 6 cuadrados: el cubo; y si n=5 el sólido tiene 12 caras formadas por pentágonos: el dodecaedro.

No hay más valores enteros posibles de n y r por lo tanto sólo hay 5 sólidos regulares. Pues esto que una vez conocido parece una obviedad tuvo un fuerte impacto en diferentes temas de la historia.

¿Y qué tiene que ver esto con el fútbol? Pues que de los sólidos regulares, el icosaedro es el que más se aproxima a la forma de una esfera. Hablando en plata, un balón de fútbol es un icosaedro truncado. Si cortamos los vértices (las puntas) de un icosaedro obtendremos una figura que se aproxima todavía más a una forma esférica. En cada vértice se unen cinco triángulos, por lo que al cortarlo tendremos un pentágono. Como se corta cada ángulo de un triángulo se obtiene un hexágono. Nos salen 12 pentágonos y 20 hexágonos. Ahora ponemos un material que se deforme un poquito y somos capaces de cubrir el 86.74% de una esfera de un diámetro equivalente, y al inflarlo la superficie se curva y llena hasta el 95%, suficiente para ser usado en el juego. En realidad no es la única figura geométrica que puede usarse con el mismo fin. Otros sólidos no perfectos se aproximan más a la forma de una esfera, por ejemplo el rombicosidodecaedro, que sin inflar puede llenar hasta el 93.32% de una esfera. Está formado por 12 pentágonos, 30 cuadrados y 20 triángulos; 62 caras en total. Otras figuras geométricas se aproximan más a una esfera usando caras irregulares, como rombos. Como pelota serían más eficientes, pero su complejidad hace que su precio sea prohibitivo; por otro lado, la forma del balón de fútbol es ya casi tradición.

En fin, los amantes del fútbol podéis pensar que su balón deriva directamente de un sólido perfecto.

Actualización: gracias a Shora. Resulta que en química también existe el Futboleno del que os he puesto enlace. Impresionante. Y es que ya se sabe: “el futboleno es así”.

Fuentes:
“El Cosmos”, Carl Sagan
http://www.luventicus.org/articulos/03Tr001/index.html
http://www.luventicus.org/articulos/03N023/index.html
http://www.portalplanetasedna.com.ar/teorema2.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lido_plat%C3%B3nico
http://www.cablenet.com.ni/curiosidades/datos_curiosos/forma_balonfutbol.html
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_plat%C3%B3nicos
http://tiopetrus.blogia.com/2003/120201-el-poliedro-de-szilassi-1-.php
http://www.cnice.mecd.es/eos/MaterialesEducativos/mem2000/superficie



Hay 15 comentarios a 'El balón de fútbol y los sólidos perfectos'

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  1. #1.- Enviado por: AntonioT

    El día 15 de diciembre de 2005 a las 09:58

    Caramba, ahora cada vez que dé una patada a un balón pensaré que estoy pateando un derivado de un sólido perfecto y lo haré con más respeto. Y si mando el balón a la grada me avergonzaré por ello. xDDD

    La verdad es que nunca me había preguntado de donde venía esa forma aunque sí me había fijado en que era bastante curiosa.

    Buen post.

  2. #2.- Enviado por: omalaled

    El día 15 de diciembre de 2005 a las 10:25

    Muchas gracias. Pues sí. Parece que el fútbol, al menos, en ese punto (y algún otro que pondré) tiene relación con la ciencia.

    Saludos

  3. #3.- Enviado por: exSoluZiono

    El día 15 de diciembre de 2005 a las 12:01

    Falamo, bon post.
    La veritat es que no m’ho havia plantejat mai, ni el numero de poliedres regulars que hi havia, ni d’on havia sortit la forma de la pilota.
    Salut!

  4. #4.- Enviado por: omalaled

    El día 15 de diciembre de 2005 a las 12:14

    Gràcies. exSoluziono; veig que recordes el meu vell nom…

    Salut!!

  5. #5.- Enviado por: Paco

    El día 15 de diciembre de 2005 a las 14:22

    Muy interesante, como siempre. Gracias por compartir estas perlas de sabiduría :-P

  6. #6.- Enviado por: Shora

    El día 15 de diciembre de 2005 a las 23:07

    No sólo se queda el tema del balón de fútbol en matemáticas en química también existe una molécula llamada Futboleno:

    http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Alumnos/al-11/al-11.htm

    Muy interesante el artículo :)

  7. #7.- Enviado por: omalaled

    El día 15 de diciembre de 2005 a las 23:40

    Muchas gracias Paco.

    Shora, lo del Futboleno es impresionante. Lo voy a colgar como actualización porque es curiosísimo.

    Saludos

  8. #8.- Enviado por: risador

    El día 16 de diciembre de 2005 a las 15:20

    Muy bonita la demostracion, ahora que tengo una pregunta, alomejor es rizar el rizo pero de donde sale que C+V=A+2!!

  9. #9.- Enviado por: omalaled

    El día 16 de diciembre de 2005 a las 16:04

    Buena pregunta, risador.

    Conozco una forma de demostrar que en el plano la fórmula es C+V=A+1.

    Pintas un vértice -> V=1 OK
    Haces una arista, pero al acabarla, forzosamente le has sumado otro vértice V=2;A=1 OK
    Siempre que hagas una nueva arista harás un nuevo vértice, por lo que la igualdad se seguirá cumpliendo

    Pero si el último vértice coincide con el primero, no has puesto otro vértice, sino una cara.

    En resumen, siempre que sumas A sumas o V o C y se cumple.

    No sé cómo se hace la generalización a una figura tridimenssional en que la diferencia es 2. Pero con algo de imaginación también se puede intuir.

    Saludos

  10. #10.- Enviado por: Tio Petros

    El día 17 de diciembre de 2005 a las 12:26

    Plas, plas plas.

  11. #11.- Enviado por: Tio Petros

    El día 17 de diciembre de 2005 a las 12:38

    La demostración del teorema de Euler que yo conozco se basa en la teoría de invariantes topológicos. Resulta que la llamada “característica de Poincaré”, que no es sino la suma algebráica del número de símplices de orden cero(vértices), de orden uno (aristas) y de orden dos (caras) es un invariante topológico. X=C-A+V permanece invariante por transformaciones topológicas. Dado que todos los poliedros regulares son topológicamente equivalentes, todos tendrán la misma X=2 . Aún más: infinidad de poliedros no regulares también tendrán la misma X=2. Sólo si un poliedro no puede obtenerse de uno regular por transformaciones continuas (por ejemplo, si tiene un agujero pasante, un asa o algo así) tendrá una X diferente.

  12. #12.- Enviado por: Ferre

    El día 17 de diciembre de 2005 a las 20:02

    Nunca había leído nada sobre la demostración de la existencia de sólo 5 sólidos perfectos (no dió esa casualidad), así que me encanta verla por aquí.

    Por cierto, luego dirán que el fútbol es algo sin cerebro. Pues ya vemos que no.

  13. #13.- Enviado por: omalaled

    El día 17 de diciembre de 2005 a las 21:52

    Gracias por esos aplausos y la expliación, Tio Petros. No conocía la explicación como tú la has expuesto pero sí el concepto “característica de Poncaré” y lo vi ¡en un programa de TV del que hablaron sobre Euler! Tengo ganas de leer más artículos tuyos.

    Ferre, del fútbol me reservo un artículo sobre el efecto Magnus que, seguro, os hará esbozar una sonrisa.

    Salud!!

  14. #14.- Enviado por: daniel

    El día 31 de enero de 2006 a las 12:23

    alguna explicacion sobre el balon de baloncesto?

  15. #15.- Enviado por: omalaled

    El día 31 de enero de 2006 a las 12:37

    Pues no … pero si encuentro algo curioso prometo publicarlo en algun articulo.

    Salud

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